本郷高校のH25年数学入試問題

今回解いてみる問題はこちら。本郷高校H25年数学の大問4です。

この問題、本郷高校のホームページで問題及び正答率が公開されていますね。大問４は（1）は、172/210（正答率約82%）、（2）は、13/210（正答率約6%）という正答率に大きな差が出た問題でした。特に（2）は正答率が全問題の中で最も低かったです。

しかし実際に解いてみるとそれほど難しくありません。まず図を書いてみると以下のようになるはずです。

（1）はそのままですね。中点連結定理を使って考えてみましょう。EF=1/2AC、FG=1/2BA、GE=1/2CBとなり△ABCと△EFGは辺の比が2：1で相似の関係にあるといえます。よって面積比は相似比の2乗となるので、4：1。つまり、△EFGは1/4Sとなるわけです。この問題は正解率が高くても不思議ではありません。

（2）は重要なポイントがわかりさえすれば簡単な問題です。△EFGの3点E、F、Gからそれぞれの対辺におろした垂線の交点（△EFGの「垂心」ともいいます）は、△ABCに外接する円の中心O（△ABCの「外心」ともいいます）とどんな関係になるでしょうか。

まず、△ABCの外心は△ABCの各辺AB、BC、CAの垂直二等分線の交点になります。（中1の作図の応用問題でも出題されます。）つまり、外心OはBCの中点Fから垂直に伸ばした線上にあるわけです。ところで、中点連結定理より、BC//EGなので、△EFGの頂点Fから辺EGにおろした垂線は辺BCとも垂直になります。他の頂点から対辺におろした垂線も同様です。

よって、△EFGの垂心P＝△ABCの外心Oとなるわけです。したがってPC＝OC＝2となります。またFC＝1/2BC＝t

そうするとPF＝OF＝√OC²ーFC²＝√4ーt²

よって△PBCの面積は、2t×√4－t²×1/2＝t√4－t²

となります。

高1の数Aでも外心や内心を詳しく勉強するのですが、難関校を受験するならば内心、外心、重心くらいはちゃんと理解しておきたいところですね。